Friday, April 9, 2010

Matrices: Operaciones básicas



A traves de este blog voy a demostrar como trabajar las operaciones básicas con matrices. Las matrices son un concepto matemático muy antiguo y muy actual. Se pueden encontrar referencia acerca de las matrices y sistemas de ecuaciones en manuscritos chinos que datan alrededor del año 200 a.C. Con los años, los matemáticos y científicos han encontrado muchas aplicaciones de las matrices.

!Las matrices poseen en sí mismas una estructura matemática interesante!



Matrices


Una matriz es un arreglo rectangular de números escritos en paréntesis cuadrados. Dos ejemplos son:


A cada número en una matriz se le llama elemento de una matriz. La matriz A tiene seis elementos ordenados en dos filas y tres columnas. Si una matriz tiene m filas y n columnas, se llama matriz m x n. La expresión m x n se conoce como tamaño de la matriz, y los números m y n se conocen como dimensión de la matriz. Es importante destacar que siempre se indica primero el número de filas. Refiriéndonos a las dos matrices de arriba, A es una matriz 2 x 3 y B es una matriz 4 x 3. Una matriz con n filas o renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada de orden n. Una matriz con sólo una columna se llama matriz columna, y una matriz con sólo una fila o renglón se llama matriz renglón. Estas definiciones se ilustran con lo siguiente:












La mayoría de los dispositivos de graficación tienen la capacidad de almacenar y realizar operaciones con matrices. La figura ilustrada muestra la matriz A desplegada en la pantalla de edición de una calculadora gráfica en particular. El tamaño de la matriz se presenta en la parte superior de la pantalla, y la posición del elemento seleccionado generalmente aparece en la parte inferior. Note que se usa una coma en la notación para indicar la posición. Esto es una práctica común en los dispositivos de graficación pero no en la literatura matemática.




Realiza la siguiente práctica, para que te autoevalúes a ver si vas entendiendo el material.





Matrices: Operaciones básicas
Como veremos a continuación la suma y multiplicación matricial se parecen a la suma y multiplicación de números reales en muchos aspectos, pero difieren de ellas en algunos aspectos importantes. Para entender mejor las similitudes y diferencias, se sugiere revisar las propiedades básicas de operaciones con números reales que se explican en la siguiente página:


Suma y Resta

Antes de comenzar con el estudio de las operaciones aritméticas para matrices, se tiene que definir la igualdad para matrices. Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales. Por ejemplo:




Suma matricial
La suma de dos matrices del mismo tamaño es una matriz con elementos que son la suma de los elementos correspondientes de dos matrices dadas. La suma no está definida por matrices de diferentes tamaños.


Accede el siguiente enlace que tiene otro ejemplo de Suma de matrices.


También se pueden usar dispositivos de graficación para resolver problemas que impliquen operaciones matriciales. La figura nos ilustra la solución del ejemplo 1 (B) en una calculadora gráfica.






Como la suma de dos matrices se obtuvo al sumar sus elementos correspondientes, se concluye de las propiedades de los números reales que las matrices del mismo tamaño son conmutativas y asociativas con respecto a la suma. Es decir, si, A, B y C son matrices del mismo tamaño, entonces:

A + B = B + A Conmutativa
A + B) + C = A + (B + C) Asociativa



Resta matricial
La resta de dos matrices del mismo tamaño es una matriz con elementos que son la resta de los elementos correspondientes de dos matrices dadas.
Al igual que la suma, la resta no está definida por matrices de diferentes tamaños.





En los siguientes libros encontrarás ayuda y ejercicios de suma y resta de matrices.







Multiplicación matricial
Se introduce ahora la multiplicación matricial, que al principio puede parecer extraña. Sin embargo, a pesar de lo rara que parece esta operación está bien cimentada en la teoría general de matrices y, como se verá, es muy útil en muchos problemas prácticos.
De acuerdo con la historia, la multiplicación matricial fue introducida por el matemático inglés Arthur Cayley (1821-1895) en estudios acerca de las ecuaciones lineales y transformaciones lineales. En grados más adelantes (escuela superior), se verá que la multiplicación matricial es central en el proceso de expresión de sistemas de ecuaciones como ecuaciones matriciales y para el proceso de solución de ecuaciones matriciales. Las ecuaciones matriciales y sus soluciones proporcionan un método alterno para resolver sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo número de variables que de ecuaciones.



Accede los siguientes enlaces para ver las lecciones de multiplicación de matrices.




Una vez hemos aprendido la mecánica manual de como trabajar las matrices, entonces pasamos a utilizar una calculadora en la web. Accede esta calculadora y verás que divertido y rápido sumamos y multiplicamos matrices de hasta 3 x 3. Lo único que tenemos que hacer es presionar la operación que vamos a utilizar; esto lo encontramos en la parte superior derecha donde dice "Related Topics". Una vez hallamos escogido la operación a realizar entonces entramos los elementos de la matriz y presionamos el botón "calculate". Y allí tenemos nuestra nueva matriz.

Otra buena calculadora es la siguiente: Calc 3D. En esta calculadora las operaciones están en la sección izquierda. Escoges la operación y luego entras los elementos de la matriz.

Estas dos calculadoras son muy buenas para trabajar con matrices de hasta 3x 3. Debemos recordar que las matrices tienen muchas otras aplicaciones interesantes que las aprenderemos en grados futuros. La tecnología llegó para quedarse, vamos a utilizarla sabiamente para darle dirección a nuestros estudios y facilitar nuestras tareas.


A ti compañero maestro:
Este blog ha sido creado con el propósito de ofrecer otras alternativas y estrategias al ofrecer el tema de matrices. Como ya sabemos, quizás la multiplicación de matrices es la operación más complicada, pero tenemos que conducir a nuestros estudiantes que vean la utilidad que éstas tienen en nuestro diario vivir para que vean la pertinencia del tema.
El tema aquí expuesto está desarrollado para nivel intermedio. Es por eso que he diseñado las matrices de hasta 3 x 3. Ya a nivel superior le podemos aumentar su tamaño y demostrarles otras aplicaciones.
Vamos a integrar la tecnología en nuestra sala de clases, vamos a darles la oportunidad a nuestros estudiantes que aprendan matemáticas como a ellos les gusta; ya sea a través de calculadoras gráficas, o a través de la internet.

Espero que este blog le sea de gran ayuda para ofrecer este fascinante tema de las matrices, y pueda ser provechoso tanto para usted, como para sus estudiantes.




ADELANTE Y EXITO



Referencias
Algebralab. (2003) Operaciones básicas con matrices. Retrieved: abril 2010. From http://www.algebralab.org/
Barnett, R. Ziegler, M. Byleen, K. Precálculo. Funciones y gráficas. 4 ed. (1999)
Escuela Americana. (1946) Propiedades de los números reales. Retrieved abril 2010, from: http://www.amschool.edu.sv/paes/f1.htm
Instituto de Tecnología educativa. Operaciones básicas con matrices. Retrieved abril 2010, from http://ite.educacion.es/
Math warehouse. Multiplicación de matrices. Retrieved abril 2010, from http://mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php
Scribd. Suma de matrices. Retrieved abril 2010, from http://scribd.com/doc/13398103/Suma-de-matrices